Question

（2012•淮滨县模拟）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=2秒时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线的顶点式y=a（x-2）²+4，将原点的坐标代入解析式就可以求出a的值，从而求出函数的解析式．
（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．
②设出点N（t，-（t-2）²+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，则有
0=4a+4，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4；

（2）①∵y=-（x-2）²+4，
∴当y=0时，-（x-2）²+4=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0），
设直线ME的解析式为：y=kx+b，则

4=2k+b 0=4k+b

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直线ME的解析式为：y=-2x+8，
∴当t=2时，P（2，2），
∴当x=2时，y=4=4，
∴当t=2时，点P不在直线ME上．

②设点N（t，-（t-2）²+4），则P（t，t），
∴PN=-t²+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=

(-t2+3t+3)×2

2

=-t²+3t+3，
∴S=-（t²-3t+

9

4

-

9

4

）+3=-（t-

3

2

）²+

21

4

∴当t=

3

2

时，S的最大值是

21

4

．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．根据几何关系巧妙设点，把面积用t表示出来，转化为函数最值问题是解题关键．