Question

11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AB下方的抛物线上，是否存在这样的点Q，使得点Q到线段AB的距离最远？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）由于P点不可能为直角顶点，因此就只有两种情况：若A为直角顶点，过A作AB的垂线与抛物线的交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点；若C为直角顶点，过A作x轴的平行线与抛物线的另一个交点即为C点，过C作y轴的平行线与AB的交点即为P点．
（3）首先过点Q作QD∥OC，交AB于D，然后设Q（a，2a²-8a+6），即可求得点D的坐标，可得PD的长，又由S_△ABQ=S_△BDQ+S_△ADQ，根据二次函数求最值的方法，根据等底的三角形的面积最大三角形的高最大，即可求得答案．

解答 解：（1）∵点B（8，m）在直线y=x+4上，
∴m=4+2=6．
∵A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+6=6}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=2x²-8x+6．
（2）
①若A为直角顶点，如图1，

设AC的解析式为：y=-x+b，
将A点代入y=-x+b得b=3
∴AC的解析式为y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
令P点的横坐标为3，则纵坐标为5，
∴P（3，5）；
②若C为直角顶点，如图2，

令2x²-8x+6=$\frac{5}{2}$，解得：x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$（舍去），
令P点的横坐标为$\frac{7}{2}$，则纵坐标为$\frac{11}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）；

综上所述：当△PAC为直角三角形时，点P的坐标（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）；
（3）（3）存在．
过点Q作QD∥OC，交AB于D，如图3，
，
设Q（a，2a²-8a+6），
则D（a，a+2），
∴QD=a+2-（2a²-8a+6）
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$×（-2a²+9a-4）×（4-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{7}{2}$a²+$\frac{63}{4}$a-7
∴当a=$\frac{9}{4}$时，△ABQ的面积最大，AB是定值，
即Q到AB的距离最大．
此时点Q的坐标为（$\frac{9}{4}$，-$\frac{15}{8}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相互垂直的两条直线的性质、直角三角形的性质、解二元二次方程组、解一元二次方程等知识点，有一定综合性，并且作为填空题，具有一定难度．要求同学们具备较高的分析问题的能力以及一定的计算能力，同时，分类讨论思想也是本题的亮点．