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22、阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图(1),等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则∠APB=
150°
,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌
△ABP
这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知如图(2),△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2
分析:(1)此类题要充分运用旋转的性质,以及全等三角形的性质得对应角相等,对应边相等,得出∠PAP′=60°,再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形,即可得出∠APP′的度数,即可得出答案;
(2)利用已知首先得出△AEG≌△AFE,即可可把EF,BE,FC放到一个直角三角形中,从而根据勾股定理即可证明.
解答:解:(1)将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,
∴△BAP≌△CAP′,
∴AB=AC,AP=AP′,∠BAP=∠CAP′,
∴∠BAC=PAP′=60°,
∴△APP′是等边三角形,
∴∠APP′=60°,
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC,△PP′C是直角三角形,∠APB=∠AP′C=150°,
∴∠BPA=150°;
故答案是:150°,△ABP;

(2)把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG.
则△ACF≌△ABG.
∴AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°.
∵∠BAC=90°,∠GAF=90°.
∴∠GAE=∠EAF=45°,
又AG=AF,AE=AE.
∴△AEG≌△AFE.
∴EF=EG,
又∠GBE=90°,
∴BE2+BG2=EG2
即BE2+CF2=EF2
点评:熟练掌握旋转的性质,充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料,并解决问题:
由平方根的定义,我们知道(
5
)2=5
2
3
×
3
=2×(
3
)2=2×3=6
(
7
+
2
)(
7
-
2
)=(
7
)2-(
2
)2=7-2=5
…,如果两个无理数相乘的积是有理数,我们称它们是互为有理化因式,如
3
2
3
是互为有理化因式;
7
-
2
7
+
2
是互有理化因式.
(1)
 
3
2
是互为有理化因式;
 
5
+1
是互为有理化因式.
这种方法可以将分母是无理数的化为分母是有理数,这个过程称为分母有理化,如:
1
2
=
2
2
×
2
=
2
2
1
3
+
2
=
3
-
2
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
(
3
)
2
-(
2
)
2
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2
2
=
3
-
2

(2)
1
5
分母有理化的结果为
 
2
3
+1
分母有理化的结果为
 

(3)利用以上知识计算:
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
100
+
99

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科目:初中数学 来源:2011—2012学年安徽全椒八年级下第三次月考数学试卷(带解析) 题型:解答题

阅读下面材料,并解决问题:
(1)如下图1,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌_______这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知:如图2,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2.

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科目:初中数学 来源:2013届安徽全椒八年级下第三次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

阅读下面材料,并解决问题:

(1)如下图1,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌_______这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.

(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知:如图2,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料,并解决问题:

(1)如图(10),等边△ABC内有一点P若点P到顶点ABC的距离分别为3,4,5则

APB=__________

分析:由于PAPB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌__________这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.

        

 (2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知如图(11),△ABC中,∠CAB=90°,AB=ACEFBC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2

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