Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5，BD=2，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（1）．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，则∠ODB=∠ADC；再根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到直线CD是⊙O的切线；

（2）先根据勾股定理计算出DA=，再根据三角形相似的判定方法证明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可计算出AE的长．

（1）证明：连结OD，如图，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠B，

∵∠ADC=∠B，

∴∠ODB=∠ADC；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ADO+∠ADC=90°，

即∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，

∴DA==，

∵AE⊥AB，

∴∠EAB=90°，

∵∠ABE=∠DBA，

∴△EAB∽△ADB，

∴=，即=

∴AE=．