Question

15．已知：如图（1），在直角坐标系中xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上，另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．
（1）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形．则符合条件的点D的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（2）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别为OB、AB交于点M、N，连接MN，将∠MCN绕着点C旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上，是判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；如发生变化，请说明理由．
（3）在（2）中设MN=x，△MCN的面积为S，求出S关于x的函数关系．

Answer 1

分析 （1）如果△OCD为等腰三角形，那么分点D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；
（2）延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周长=BA+BO=4；
（3）过点C作CH⊥OA于点H，根据OC=AC，∠C=120°，求出AC的长度，又∠CAB=∠CAH+∠OAB=90°，所以CA⊥NF，由（2）知△MCN≌△FCN，MN=NF．所以S_△MCN=S_△FCN，即可解答．

解答 解：（1）如图1，

若点D在OA上时，OC=OD，则OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
D点的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
如图2，

若OD=CD时，
∵∠COD=30°，cos∠COD=$\frac{DQ}{OD}$，
∴cos30°=$\frac{DQ}{OD}$，
∴OD=$\frac{OQ}{cos3{0}^{°}}=\frac{2}{3}$，
∴D点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）；
如图3，当点D在BA上时，

若OD=CD，则点D在OC的垂直平分线上，设OC的垂直平分线DQ与x轴交于点P，
则∠APD=60°，OQ=CQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等边三角形，
过点D作DM⊥PA于M，则PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=$\frac{OQ}{c0s3{0}^{°}}=\frac{2}{3}$，
∴AP=2-$\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴OM=$\frac{4}{3}$，DM=tan60°•PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D点的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
如图4，当点D在OB上时，

若OD=OC，则OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
过点D作DM⊥OA于M，则OM=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DM=1，
则D点的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）；
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（2）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
如图5，延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=CF}\\{∠FCN=∠MCN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周长不变，其周长为4．
（5）如图6，过点C作CH⊥OA于点H，

∵OA=2，OC=AC，∠OCA=120°，
∴OH=AH=$\frac{1}{2}$OA=1，∠COH=∠CAH=30°，
∴AC=$\frac{AH}{cos3{0}^{°}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴∠CAB=∠CAH+∠OAB=90°，
∴CA⊥NF，
由（2）知△MCN≌△FCN，MN=NF．
∴S_△MCN=S_△FCN，MN=NF=x，
∵S_△FCN=$\frac{1}{2}NF•AC$=$\frac{1}{2}x•\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

点评 本题主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏．