Question

【题目】如图，长方形AOCB的顶点A（m，n）和C（p，q）在坐标轴上，已知和都是方程x+2y＝4的整数解，点B在第一象限内．

（1）求点B的坐标；

（2）若点P从点A出发沿y轴负半轴方向以1个单位每秒的速度运动，同时点Q从点C出发，沿x轴负半轴方向以2个单位每秒的速度运动，问运动到多少秒时，四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半；

（3）如图2，将线段AC沿x轴正方向平移得到线段BD，点E（a，b）为线段BD上任意一点，试问a+2b的值是否变化？若变化，求其范围；若不变化，求其值．（直接写出结论）

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为（4，2）；（2）运动到1秒时，四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半；（3）a+2b的值不变化，值为8.

【解析】

（1）根据坐标轴的性质把A,C代入方程x+2y＝4，得到非负整数解，再根据矩形的性质即可解答.

（2）设AP＝t，CQ＝2t，再根据四边形BPOQ的面积＝矩形AOCB的面积﹣△ABP的面积﹣△BCQ的面积求出t即可解答.

（3）作EF⊥CD于F，由平移的性证明四边形ABDC是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出CD＝AB＝4，OD＝OC+CD＝8，再根据点E的坐标为（a，b），得出OF＝a，EF＝b，DF＝8﹣a，最后利用相似三角形的判定与性质，即可解答.

（1）∵A（m，n），C（p，q），

∴m＝0，n＞0，p＞0，q＝0，

∵方程x+2y＝4的非负整数解为，

∴A（0，2），C（4，0），

∵四边形AOCB是矩形，

∴BC＝OA＝2，AB＝OC＝4，

∴点B的坐标为（4，2）；

（2）如图1所示：由题意得：AP＝t，CQ＝2t，

∴四边形BPOQ的面积＝矩形AOCB的面积﹣△ABP的面积﹣△BCQ的面积＝4×2﹣×4×t﹣×2t×2＝×4×2，

解得：t＝1，

即运动到1秒时，四边形BPOQ面积为长方形ABCO面积的一半；

（3）a+2b的值不变化，值为8，理由如下：

作EF⊥CD于F，如图2所示：

则EF∥OA∥BC，

由平移的性质得：AC∥BD，AC＝BD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴CD＝AB＝4，

∴OD＝OC+CD＝8，

∵点E的坐标为（a，b），

∴OF＝a，EF＝b，

∴DF＝8﹣a，

∵EF∥BC，

∴△DEF∽△DBC，

∴，

整理得：a+2b＝8．