Question

18．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理求出∴∠ACB=90°，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．

解答 解：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{4}{5}$=$\frac{5}{AB}$，
∴AB=$\frac{25}{4}$，
∴⊙O半径是$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．