Question

一个长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，而且①ab-ca-bc=1，②ca=bc+1，试确定长方体的体积

6

．

Answer 1

分析：要求长方体的体积就得求出a，b，c的值．先将②代入①可以由a，b，c为正整数就可以求出b的值，再求出c的值和a的值，就可以求出长方体的体积．

解答：解：∵①ab-ca-bc=1，②ca=bc+1，
∴把②代入①得：
ab-bc-1-bc=1，
∴ab-2bc=2，
∴b（a-2c）=2．
∵a，b，c为正整数，
∴当b=1时，a-2c=2③
当b=2时，a-2c=1．④
当b=1时，a-2c=2时，
②变为：ca=c+1，
∴c（2+2c）=c+1，c=

1

2

或-1，都不符合题意．
当b=2时，a-2c=1时，ca=2c+1，
∴c（1+2c）=2c+1，c=-

1

2

或1，故c=1，
∴把b=2，c=1代入②，得
a=3，
∴长方体的体积为：1×2×3=6．
故答案为6．

点评：本题考查了长方体的体积的计算，因式分解的运用，正整数解的理解．