Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）证明：BC²=CD•CA；
（3）若DC=3，BC=4，求AB的长度．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结OD，由OA=OD得∠A=∠ADO，而∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A，则∠ADO+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线BD与⊙O相切；
（2）先证明△CBD∽△CAB，然后利用相似比即可得到结论；
（3）在Rt△BCD中，根据勾股定理可计算出BD=5，再利用△CBD∽△CAB，根据相似比可计算出AB．

解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥DB，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵∠DCB=∠BCA，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴BC²=CD•CA；
（3）在Rt△BCD中，DC=3，BC=4，
∴BD=

CD2+BC2

=5，
∵△CBD∽△CAB，
∴

BD

AB

=

CD

CB

，即

5

AB

=

3

4

∴AB=

20

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理．