练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

    【答案】分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
    （2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
    （3）设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．
    解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
    ∵，∠AOB=90°，
    ∴AC=OC=BC=2，
    ∴B（2，-2），
    将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，．

    （2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，），
    ∴．
    又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
    又∵∠AEO=∠OFB=90°，
    ∴△AEO∽△OFB，
    ∴，
    ∴AE=2OE，
    设点A（-m，）（m＞0），则OE=m，
    ，
    ∴，
    ∴m=4，即点A的横坐标为-4．

    解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，），
    ∴，
    ∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
    ∴，
    ∴AE=2OE，
    设点A（-m，）（m＞0），
    则OE=m，，
    ∴，
    ∴m=4，即点A的横坐标为-4．

    解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，），
    设A（-m，）（m＞0），
    则，，，
    ∵∠AOB=90°
    ∴AB2=OA2+OB2，
    ∴（1+m）2+（-+m2）2=+m2+m4，
    解得：m=4，即点A的横坐标为-4．

    （3）解法一：设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
    （1）×n+（2）×m得，，
    ∴（8分）
    又易知△AEO∽△OFB，
    ∴，
    ∴，
    ∴mn=4，
    ∴．
    由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
    （说明：写出定点C的坐标就给2分）

    解法二：∵点A是抛物线y=-x2上的点，
    ∴设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
    直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
    可得，
    化简，得．
    又易知△AEO∽△OFB，
    ∴，
    ∴，
    ∴mn=4，
    ∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
    说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
    由前可知，，，，
    由OA2+OB2=AB2，得：，
    化简，得mn=4．
    本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
    点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
    （1）若测得OA=OB=2
    		2
    （如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标
     
    ；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

    （1）若测得（如图1），求的值；

    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

     


    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2012-2013学年浙江省温州市瑞安市新纪元学校九年级（上）第一次月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2012年浙江省中考数学模拟试卷（五）（解析版） 题型：解答题

    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案