Question

【题目】如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y= （x＞0）的图象上．

（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；
（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，2）代入得：k=6，

∴反比例函数的解析式为：y= ；

把m=4代入反比例解析式得：n= =1.5，

∴M（4，1.5），

设直线AM的解析式为：y=kx+b；

根据题意得： ，

解得：k=﹣0.5，b=3.5，

∴直线AM的解析式为：y=﹣0.5x+3.5

（2）

解：根据题意得：P（m，0），M（m， ），B（0，2），

设直线BP的解析式为：y=kx+b，

把点B（0，2），P（m，0）代入得： ，

解得：k=﹣ ；

设直线AM的解析式为：y=ax+c，

把点A（3，2），M（m， ）代入得： ，

解得a=﹣ ，

∵k=a=﹣ ，

∴直线BP与直线AM的位置关系是BP∥AM，

∵AB∥PQ，

∴四边形ABPQ是平行四边形

（3）

解：在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，理由为：

若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，

∴m2+22=9，即m2=5，

此时m= ，

则在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形

【解析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把m=4代入反比例解析式求出n的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=kx+b，把A与M代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式；（2）根据题意表示出直线BP与AM解析式，得出两直线斜率相等，进而确定出AM与BP平行，再由AB与PQ平行，利用两对对应边平行的四边形为平行四边形即可得证；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，根据B与P坐标列出关于m的方程，求出方程的解即可得到这样的菱形存在．
【考点精析】掌握反比例函数的图象和反比例函数的性质是解答本题的根本，需要知道反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．