Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，点F为AC的中点，D为BF的延长线上一点，且∠BDC=∠BAC，E为CD的延长线上一点，且AD=AE，下列结论：①AD平分∠BDE；②CD=2DF；③BF=DF+DE；④S_△ABC=2S_{四边形AEDF}．其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理和圆内接四边形性质得出∠ADB=∠ACB，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，证出∠ADB=∠ADE，得出①正确；证明△ABF∽△DCF，得出$\frac{CD}{DF}=\frac{AB}{AF}$=2，即可得出②正确；证出∠ADB=∠E，由AAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，由BD=BF+DF，CE=CD+DE=2DF+DE，得出BF=DF+DE，③正确；作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，由角平分线的性质得出AG=AH，求出S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ABF，进一步得出S_△ABC=2S_{四边形AEDF}．④正确；即可得出结论．

解答 解：∵∠BDC=∠BAC，∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB，∠ADE=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴AD平分∠BDE，①正确；
∵点F为AC的中点，
∴AB=AC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠BAF=∠CDF，∠ABF=∠DCF，
∴△ABF∽△DCF，
∴$\frac{CD}{DF}=\frac{AB}{AF}$=2，
∴CD=2DF，②正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E，
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠ADB=∠E，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠E}&{\;}\\{∠ABD=∠ACE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE，
∵BD=BF+DF，CE=CD+DE=2DF+DE，
∴BF+DF=2DF+DE，
∴BF=DF+DE，③正确；
作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，如图所示：
∵AD平分∠BDE，
∴AG=AH，
∵S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=$\frac{1}{2}$DE•AG+$\frac{1}{2}$DF•AH=$\frac{1}{2}$AH（DE+DF）=$\frac{1}{2}$AH•BF=S_△ABF，
∵AF=CF，
∴S_△ABC=2S_△ABF，
∴S_△ABC=2S_{四边形AEDF}．④正确；
结论正确的个数是4个，
故选：D．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．