Question

11．定义：当点P在射线OA上时，把$\frac{OP}{OA}$的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值，例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{3}$．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；
其中真命题有B
A．①②B．②③C．①③D．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为$\frac{1}{2}$，求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据射影值的定义一一判断即可解决问题．
（2）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△BOH∽△COB，推出∠BHO=∠CBO=90°，由此即可证明；
②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上以及OC上方部分的情形．分两种情形考虑：当∠DOB＜90°时，当∠DOB≥90°时．

解答 解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形．
②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB=90°，△ABC是直角三角形．
③正确．B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，△ABC是钝角三角形．故答案为B．

（2）①如图2中，作BH⊥OC于H．

∵$\frac{OH}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，OA=OB=OC=1，
∴$\frac{OH}{OB}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠BOH=∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO=∠CBO=90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．

②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上以及OC上方部分的情形．

当∠DOB＜90°时，设DM=h，
∵BD=DC，
∴S_△OBD=S_△ODC，
∴$\frac{1}{2}$•OB•DN=$\frac{1}{2}$•OC•DM，
∴DN=2h
∵OD²=DN²+ON²=DM²+OM²，
∴4h²+y²=h²+x²，
∴3h²=x²-y²      ①，
∵BD²=CD²，
∴4h²+（1-y）²=h²+（2-x）²     ②，
①②消去y得到y=2x-$\frac{3}{2}$．
如图，当∠BOD=90°时，

在Rt△ODM中，易知OD=2DM，
∴∠DOM=30°，设DM=h，则OD=2h．OM=$\sqrt{3}$h，
∴h²+（2-$\sqrt{3}$h）²=1²+4h²，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴OM=$\frac{3}{4}$，
当点B在OC上时，OD=$\frac{1}{2}$，
综上所述，当$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$时，y=0，
当$\frac{3}{4}$＜x$≤\frac{3}{2}$时，y=2x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、射影值的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．