Question

7．已知x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$），求下列各式的值：
（1）x²-xy+y²；
（2）$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$．

Answer 1

分析 首先求得x+y和xy的值．（1）把所求式子化成（x+y）²-3xy的形式，然后代入求解；
（2）把所求的式子化成$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$的形式，然后代入求解即可．

解答 解：x+y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{5}$，xy=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{2}$，
（1）原式=（x+y）²-3xy=（$\sqrt{5}$）2-$\frac{3}{2}$=5-$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$；
（2）原式=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$=$\frac{5-1}{\frac{1}{2}}$=8．

点评 本题考查了分式的化简求值，正确利用完全平方公式对所求的式子进行变形是关键．