Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限且纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A₁在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B₁．
（1）求∠AOM的度数．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三边比为l：$\sqrt{3}$：2，求线段AB₁的长和B₁的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A与点A₁关于直线MN对称，可得出∠AOM=∠A₁OM，再由等腰三角形的性质可得出∠AOB=30°，通过角的计算即可得出结论；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B₁作B₁D⊥x轴于点D，通过解直角三角形以及等腰三角形的性质可得出点A、B点的坐标，再根据对称的性质即可得出点A₁的坐标以及AB₁=A₁B，在Rt△OB₁D中，利用特殊角的三角函数值即可得出B₁D的长度，此题得解．

解答 解：（1）∵点A与点A₁关于直线MN对称，
∴∠AOM=∠A₁OM，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴∠AOB=30°，
∵∠AOB+∠AOM+∠A₁OM=180°，
∴∠AOM=75°．
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B₁作B₁D⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，
∴AO=2AC=2，OC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∵AB=AO，
∴BO=2OC=2$\sqrt{3}$，
∴点A（-$\sqrt{3}$，1），点B（-2$\sqrt{3}$，0）．
∵点A与点A₁关于直线MN对称，
∴OA₁=OA=2，
∴点A₁（2，0），
∴A₁B=2-（-2$\sqrt{3}$）=2+2$\sqrt{3}$，
∵点A关于直线MN的对称点A₁，点B关于直线MN的对称点为B₁，
∴AB₁=A₁B=2+2$\sqrt{3}$，OB₁=OB=2$\sqrt{3}$．
在Rt△OB₁D中，∠B₁OD=∠AOB=30°，
∴B₁D=$\frac{1}{2}$OB₁=$\sqrt{3}$．
故线段AB₁的长为2+2$\sqrt{3}$，B₁的纵坐标为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了对称的性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值以及角的计算，解题的关键是：（1）找出∠AOM=∠A₁OM；（2）求出线段A₁B和B₁D的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据轴对称的性质找出相等的边角关系是关键．