Question

【题目】

已知：如图(1)，在平面直角坐标系中，点，，分别在坐标轴上，且，的面积为，点从点出发沿轴负方向以个单位长度/秒的速度向下运动，连接，，点为上的中点.

(1)直接写出坐标___________，___________，___________.

(2)设点运动的时间为秒，问：当与垂直且相等时，求此时的值？并说明理由.

(3)如图(2)，在第四象限内有一动点，连接，，，点在第四象限内运动，当，判断是否平分，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（-4，0），（4，0），（0，-4）；（2）当t=2时，DP与DB垂直且相等，理由见详解；（3）QA平分∠PQB，见详解.

【解析】

（1）根据三角形的面积公式计算，分别求出OA，OB，OC，得到点A，B，C的坐标；
（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，根据勾股定理用t表示出DB，DP，PB，然后再根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）根据等边三角形的判定和性质得到∠APB=60°，进而得到A，B，Q，P四点共圆，再根据圆周角定理解答．

解：（1）∵OA=OB=OC，
∴AB=2OA，
∵∠AOC=90°，△ABC的面积为16，
∴×AB×OC=16，即×2OA×OC=16，
∴OA=OC=OB=4，
∴A（-4，0），B（4，0），C（0，-4），
（2）当t=2秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．
理由如下：作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，

则OM∥OC，DN∥OA，
∵D为线段AC中点，
∴DM=2，OM=2，DN=2，NC=2，
∴BD2=DM2+BM2=40．

∴DP2=DN2+PN2=4+（2+2t）2=8+8t+4t2，PB2=OB2+PO2=16+（4+2t）2=32+16t+4t2，
当DP与DB垂直时，有40+8+8t+4t2=32+16t+4t2，
解得，t=2，
当t=2时，8+8t+4t2=40，
∴DP=DB，
∴当t=2时，DP与DB垂直且相等；
（3）QA平分∠PQB，

理由：∵OA=OB，PO⊥AB，
∴PA=PB，又∠ABP=60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴∠APB=60°，
∵∠ABP=60°，∠PQA=60°，
∴∠ABP=∠PQA，
∴A，B，Q，P四点共圆，
∴∠AQB=∠APB=60°，
∴∠AQB=∠AQP，即QA平分∠PQB．