Question

阅读下面的文字，回答后面的问题：求5+5²+5³+…+5¹⁰⁰的值．
解：令S=5+5²+5³+…+5¹⁰⁰（1），将等式两边同时乘以5得到：5S=5²+5³+5⁴+…+5¹⁰¹（2），
（2）-（1）得：4S=5¹⁰¹-5，∴
问题：（1）求2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值；（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值．

Answer 1

解：（1）令S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
②-①得：S=2¹⁰¹-2；

（2）∵4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰），
令S=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+3²+3³+…+3⁴¹）②，
②-①得：2S=4×（3⁴¹-1），
∴S=2×（3⁴¹-1）．
分析：（1）由题意可S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①，将等式两边同时乘以2得到：2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，由②-①即可求得答案；
（2）由4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰），然后令S=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）①，将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+3²+3³+…+3⁴¹）②，由②-①即可求得答案．
点评：此题考查了同底数幂的乘法的应用．此题难度适中，注意理解题意，掌握解题方法．