Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且|m-n-3|+

2n-6

=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出关于m n的方程组，求出即可；
（2）分为两种情况：：①当P在线段OA上时，求出三角形BOP的面积，得出不等式组，求出其解集即可；②当P在线段奥DA的延长线上时，求出三角形BOP的面积，得出不等式组，求出其解集即可；
（3）分为两种情况：：①当OP=OA=6时，此种情况不存在；②当OP=OB=3时，分为两种情况，画出符合条件的两种图形，结合图形和全等三角形的性质即可得出答案．

解答：解：（1）∵|m-n-3|+

2n-6

=0，
∴m-n-3=0，2n-6=0，
解得：n=3，m=6，
∴OA=6，OB=3；

（2）分为两种情况：①当P在线段OA上时，
AP=t，PO=6-t，
∴△BOP的面积S=

1

2

×（6-t）×3=9-

3

2

t，
∵若△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜9-

3

2

t≤3，
解得：4≤t＜6；
②当P在线段DA的延长线上时，如图，
AP=t，PO=t-6，∴△BOP的面积S=

1

2

×（t-6）×3=

3

2

t-9，
∵若△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜

3

2

t-9≤3，
解得：6＜t≤8；
即t的范围是4≤t≤8且t≠6；

（3）分为两种情况：①当OP=OA=6时，E应和B重合，但是此时PE和AB又不垂直，
即此种情况不存在；
②当OP=OB=3时，分为两种情况（如图）：第一个图中t=3，
第二个图中AP=6+3=9，即t=9；
即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．

点评：本题考查了绝对值，二次根式的性质，垂直定义，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，题目比较典型，但是有一定的难度，注意要进行分类讨论啊．