Question

14．如图1，已知抛物线F₁：y=x²-2x+2与y轴交于点A，顶点为B，抛物线F₂：y=x²+ax+b的顶点为D在线段AB的延长线上（不包括B点），两抛物线相交于点C．
（1）①若a=-4，求b的值；
②请用含a的式子表达b为b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$；
（2）如图1，若∠ACD=90°，求a的值；
（3）如图2，若抛物线F₂与直线AB另一个交点为E，连接CE，若△CDE的面积不小于3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据函数值与自变量的关系，可得A，B点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据二次函数的顶点坐标公式，可得D点坐标，根据直线上点的坐标满足函数解析式，可得答案；
②根据直线上点的坐标满足函数解析式，可得答案；
（2）根据联立直线与抛物线，可解得点C坐标，根据互相垂直的两条直线的斜率的乘积为-1，可得答案；
（3）根据联立两抛物线，可得E点坐标，根据两点间距离公式，可得CE的长，根据点到直线的距离，可得h的长，根据三角形的面积公式，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

解答 解：（1）①当x=0时，y=2，即A点坐标为（0，2），
y=x²-2x+2的定点坐标为B（1，1）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=-x+2．
y=x²+ax+b=（x+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$，顶点为（-$\frac{a}{2}$，$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$）．
顶点坐标在y=-x+2上，得
$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$+2，
b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$．
当a=-4时，b=$\frac{（-4）^{2}+（-4）×2+8}{4}$=4；
②顶点坐标在y=-x+2上，得
$\frac{4b-{a}^{2}}{4}$=$\frac{a}{2}$+2
b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$，
故答案为：b=$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$；

（2）D点坐标为（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$+2），
F₂：y=x²+ax+$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$
与y=x²-2x+2联立，化简，得
（a+2）x=-$\frac{a（a+2）}{4}$，
x=-$\frac{a}{4}$  （这里舍去a=-2，否则两个抛物线是上下平移的关系），
C（-$\frac{a}{4}$，$\frac{{a}^{2}}{16}$+$\frac{a}{2}$+2）．
k_AC=$\frac{\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-2}{-\frac{a}{4}-0}$=-$\frac{a+8}{4}$，
k_CD=$\frac{\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-\frac{a}{2}-2}{-\frac{a}{4}+\frac{a}{2}}$=$\frac{4}{a}$，
∵k_AC•k_CD=-1，
∴a=-4（1+$\sqrt{2}$），a=4（$\sqrt{2}$-1）（不符合题意要舍去）；
（3）F₂：y=x²+ax+$\frac{{a}^{2}+2a+8}{4}$
与y=-x+2联立，化简，得
4x²+4（a+1）x+a（a+2）=0，因式分解，得
（2x+a）（2x+a+2）=0，
x=-$\frac{a+2}{2}$，x=-$\frac{a}{2}$（为D的横坐标，要舍去），
E（-$\frac{a+2}{2}$，$\frac{a+6}{2}$）．
令C与AB的距离为h，
DE=$\sqrt{（-\frac{a}{2}+\frac{a+2}{2}）^{2}+（\frac{a}{2}+2-\frac{a+6}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
h=$\frac{|-\frac{a}{4}+\frac{{a}^{2}}{16}+\frac{a}{2}+2-2|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{{a}^{2}+4a}{16\sqrt{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$DE•h=$\frac{{a}^{2}+4a}{32}$≥3，
a²+4a-96=（a+12）（a-8）≥0，
解得a≥8或a≤-12．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的对应关系，待定系数求函数解析式，利用了二次函数的定点坐标公式，利用直线上的点满足函数解析式得出a与b的关系是解题关键；（2）利用解方程组得出C点坐标，利用互相垂直的两条直线的斜率的乘积为-1是解题关键；（3）利用两点间的距离得出CE的长是解题关键．