Question

如图，已知抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）。
（1）求抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式；
（2）设抛物线C₁的顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止，求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）， 设抛物线C2的解析式是， 则 解得， 所以所求抛物线的解析式是； （2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）， 过点N作，垂足为H， 当运动到时刻t时，， 根据中心对称的性质，所以四边形MDNA是平行四边形， 所以， 所以，四边形MDNA的面积， 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知，所以，所求关系式是，t的取值范围是； （3），（）， 所以时，S有最大值， 提示：也可用顶点坐标公式来求； （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形， 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形， 所以， 所以， 所以， 解之得（舍）， 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时。