【题目】如图,已知AB是⊙O的弦,点C是弧AB的中点,D是弦AB上一动点,且不与A、B重合,CD的延长线交于⊙O点E,连接AE、BE,过点A作AF⊥BC,垂足为F,∠ABC=30°.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)若BC=6,CD=3,则DE的长为 ;
(3)当点D在弦AB上运动时,的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范围;如果不变,请求出其值.
【答案】(1)见解析;(2)9;(3)不变,
【解析】
(1)如图1中,连接AC,OC,OA.想办法证明OA∥BF即可解决问题;
(2)证明△BCD∽△ECB,推出,求出CE即可解决问题;
(3)如图2中,连接AC,OC,OC交AB于H,作AN∥EC交BE的延长线于N.证明△ACE∽△ABN,推出可得结论.
(1)证明:如图1中,连接AC,OC,OA,
∵∠AOC=2∠ABC=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠CAO=60°,
∵,
∴AB⊥OC,
∴∠OAD=∠OAC=30°,
∵∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠OAD,
∴OA∥BF,
∵AF⊥BF,
∴OA⊥AF,
∴AF是⊙O的切线;
(2)解:∵,
∴∠CBD=∠BEC,
∵∠BCD=∠BCE,
∴△BCD∽△ECB,
∴,
∴,
∴EC=12,
∴DE=EC﹣CD=12﹣3=9,
故答案为:9;
(3)解:结论:=,的值不变.
理由:如图2中,连接AC,OC,OC交AB于H,作AN∥EC交BE的延长线于N.
∵,
∴OC⊥AB,CB=CA,
∴BH=AH=AB,
∵∠ABC=30°,
∴BH=BC,
∴AC=AB,
∵CE∥AN,
∴∠N=∠CEB=30°,∠EAN=∠AEC=∠ABC=30°,
∴∠CEA=∠ABC=30°,∠EAN=∠N,
∴∠N=∠AEC,AE=EN,
∵∠ACE=∠ABN,
∴△ACE∽△ABN,
∴=,
∴=,
∴的值不变.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,已知∠C=90°,∠B=60°,点D在边BC上,过D作DE⊥AB于E.
(1)连接AD,取AD的中点F,连接CF,EF,判断△CEF的形状,并说明理由
(2)若BD=CD.把△BED绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R、S,若AQ=PQ,PR=PS,则结论:①PA平分∠RPS;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.其中正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是规格为的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)请在网格中建立平面直角坐标系,使点坐标为,点坐标为;
(2)在第二象限内的格点上画一点,使点与线段组成一个以为底的等腰三角形,且腰长是无理数, 则点坐标是________,的周长是_________(结果保留根号);
(3)画出以点为旋转中心、旋转后的,连结和,试说出四边形是何特殊四边形, 并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E为CD上一点,且DE=1,F为射线BC上一动点,过点E作EG⊥AF于点P,交直线AB于点G.则下列结论中:①AF=EG;②若∠BAF=∠PCF,则PC=PE;③当∠CPF=45°时,BF=1;④PC的最小值为﹣2.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,平面直角坐标的原点是等边三角形的中心,A(0,1),把△ABC绕点O顺时针旋转,每秒旋转60°,则第2017秒时,点A的坐标为( )
A. (0,1) B. (﹣,﹣) C. (,) D. (,﹣)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数,命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测,将考试成绩分布情况进行处理分析,制成如图表(成绩得分均为整数):
根据图表中提供的信息解答下列问题:
组别 | 成绩分组 | 频数 |
A | 47.5~59.5 | 2 |
B | 59.5~71.5 | 4 |
C | 71.5~83.5 | a |
D | 83.5~95.5 | 10 |
E | 95.5~107.5 | b |
F | 107.5~120 | 6 |
(1)频数分布表中的a= ,b= ;扇形统计图中的m= ,n= ;
(2)已知全区八年级共有200个班(平均每班40人),用这份试卷检测,108分及以上为优秀,预计优秀的人数约为 人,72分及以上为及格,预计及格的人数约为 人;
(3)补充完整频数分布直方图.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=540,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F。
(1)求证:BE=CE;
(2)求∠CBF的度数;
(3)若AB=6,求的长。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com