Question

25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE=DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）在不添加辅助线的情况下，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形，并给予证明．

Answer 1

分析：1、由平行四边形的性质知，AB=CD，AB∥CD，得到∠ABE=∠CDF，又有BE=DF，故由SAS证得△ABE≌△CDF．
2、平行四边形的性质知，AO=CO，BO=DO，由BE=DF可求得OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，若使平行四边形AECF为菱形，只要AC⊥EF即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．（1分）
∴∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，（3分）
∴△ABE≌△CDF．（4分）

（2）补充的条件是：AC⊥CD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴0E=0F．
∴四边形AECF是平行四边形．（5分）
又∵AC⊥CD，
∴四边形AECF是菱形．（6分）
（其他解法参照给分）

点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形和菱形的判定求解．