Question

如图，己知Rt△OAB的斜边OA在x轴正半轴上，直角顶点B在第一象限，OA=5，OB=

5

．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求经过O、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式，并确定抛物线顶点的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知了OA的长，即可得到A点的坐标；过B作BD⊥x轴于D，易证得Rt△OBD∽Rt△OAB，可通过得到的比例线段求出OD的长；进而可在Rt△OBD中，由勾股定理求出BD的长，由此可得到B点的坐标；
（2）已知二次函数图象上的三点坐标，即可用待定系数法求得函数的解析式，进而可用配方法求出抛物线的顶点坐标．

解答：解：（1）∵OA在x轴正半轴上，且OA=5，
∴A点坐标为（5，0）；（1分）
过B作BD⊥OA于D，则△BOD∽△AOB，
∴

OB

OA

=

OD

OB

；
∴OD=

OB2

OA

=1；
在Rt△ODB中，由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=2；
∴B点坐标为（1，2）；（2分）

（2）因为抛物线经过O（0，0）、A（5，0）两点，
∴可设其解析式为y=ax（x-5）；（3分）
又∵过点B（1，2），∴2=a（1-5）×1，
∴a=-

1

2

；（4分）
∴所求抛物线解析式为y=-

1

2

x（x-5），即y=-

1

2

x²+

5

2

x；（5分）
配方得y=-

1

2

（x-

5

2

）²+

25

8

；
∴抛物线顶点坐标为（

5

2

，

25

8

）．（6分）

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法等知识．