Question

8．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β

（1）如图（2），若α=90°，β=30°，则，∠MON=60°
（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）
（3）如图（4），若α=2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质即可得出∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOD+$\frac{1}{2}$∠BOC，进而求出即可；
（2））设∠BOD=γ，而∠MOD=$\frac{∠AOD}{2}$=$\frac{α+γ}{2}$，∠NOB=$\frac{∠COB}{2}$=$\frac{β+γ}{2}$，进而得出即可；
（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案．

解答 解：（1）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
α=90゜，β=30゜，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β=60°；
故答案为：60°；

（2）设∠BOD=γ，
∵∠MOD=$\frac{∠AOD}{2}$=$\frac{α+γ}{2}$，∠NOB=$\frac{∠COB}{2}$=$\frac{β+γ}{2}$，
∴∠MON=∠MOD+∠NOB-∠DOB=$\frac{β+γ}{2}$+$\frac{α+γ}{2}$-γ=$\frac{α+β}{2}$；

（3）设运动时间为t秒，则∠DOB=3t-t=2t，∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOB=t，
∴∠COE=β+t．∠AOD=α+2t，
又∵α=2β，
∴∠AOD=2β+2t=2（β+t）．
∴$\frac{∠COE}{AOD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠COE=2∠AOD．

点评 此题主要考查了角的计算，正确根据角平分线的性质应用α，β表示角是解题关键．