Question

【题目】如图所示，一次函数分别交x，y轴于A，C两点，抛物线与经过点A，C.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）若P为抛物线上A，C两点间的一个动点，过点P作直线，交直线AC于点Q，当点P运动到什么位置时，线段PQ的长度最大？求此最大长度，及此时P点坐标。

（3）在（2）条件下，直线与轴交于N点与直线AC交于点M，当N，M，Q，D四点是平行四边行时，直接写出D点的坐标。

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，PQ最大=， P（）；

（3） .

【解析】试题分析: （1）先求出A、C坐标，把A、C两点坐标代入y＝x＋bx＋c解方程组即可．

（2）设P（a，a＋2a3），则Q（a，a3），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

（3）如图2中，分两种情形①当MN为平行四边形的边时，DQ＝MN＝2，可得D1（， ），D2（，）．②当MN为对角线时，可得D3（，）．

试题解析: （1）∵一次函数y＝x3分别交x，y轴于A，C两点，

∴A（3，0）C（0，3），把A、C两点坐标代入y＝x＋bx＋c

得

解得，

∴y＝x ＋2x3．

（2）设P（a，a ＋2a3），则Q（a，a3），

∴PQ＝a3（a ＋2a3）＝a 3a＝（a）＋．

∴当a＝时，PQ是最大值＝，

此时P（，）．

（3）如图2中，

∵N（1，0），M（1，2），Q（，），

∴MN＝2，

①当MN为平行四边形的边时，DQ＝MN＝2，

∴， ．

②当MN为对角线时，可得，

综上所述，满足条件的点D的坐标为 ．

点睛: 本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．