Question

5．如图，在平面直角坐标xOy内，函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB．
（1）求m的值；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（1，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$，求出m的值即可；
（2）设BD，AC交于点E，利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD，进而可得出结论；
（3）根据DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得出a的值，故可得出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可；
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，求出a的值，故可得出点B的坐标，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可．

解答 解：（1）∵函数$y=\frac{m}{x}$（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），
∴m=4；

（2）解法1，设BD，AC交于点E，
∵在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
解法2，设BD，AC交于点E，根据题意，可得B点的坐标为（a，$\frac{4}{a}$），D点的坐标为（0，$\frac{4}{a}$），E点的坐标为（1，$\frac{4}{a}$）．
∵a＞0，AE=4-$\frac{4}{a}$，CE=$\frac{4}{a}$，EB=a-1，ED=1；
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1．
又∵∠AEB=∠CED；
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．

（3）解法1，∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得：BE=DE，则a-1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．
解法2，当AD=BC时，AD²=BC²．
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；  在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²
∴${（4-\frac{4}{a}）^2}+{1^2}={（a-1）^2}+{（\frac{4}{a}）^2}$，
整理得：a³-2a²-16a-32=0，
∴（a-2）（a+4）（a-4）=0；
∴a=2或a=-4或a=4，
∵a＞1，
∴a=2或a=4．
①当a=2时，点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6．
②当a=4时，点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．