Question

10．已知：如图，在?ABCD中，延长线BC到E，使CE=BC，连接AE交CO于O
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC、DE，当∠BAE=90°，且AB=AE时，求证：四边形ACED为正方形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，进而利用全等三角形的判定方法得出即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质结合正方形的判定方法得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
则∠ADC=∠DCE，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
在△AOD和△EOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠COE}\\{∠ODA=∠OCE}\\{AD=EC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）解：由（1）得：AD$\stackrel{∥}{=}$EC，
则四边形ACED是平行四边形，
∵∠BAE=90°，AB=AE，CE=BC，
∴AC⊥BE，AC=EC=BC，
∴四边形ACED是正方形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质和正方形的判定等知识，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键．