Question

已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（2）当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由．
（3）当DF=1时，求点A到直线EF的距离．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EM⊥FM，
∴∠EMF=90°，
∴∠BEM+∠BME=90°，∠BME+∠CMF=90°，
∴∠BEM=∠FMC，
∴△BEM∽△CMF，
∴=，
∵BM=CM=BC=×4=2，BE=e，CF=y，
∴xy=4
x的取值范围是0＜x≤4；

（2）不变，
理由是：∵根据勾股定理得：EM²=BE²+BM²=x²+2²=x²+4，FM²=y²+4，
∴EF²=EM²+FM²=x²+4+y²+4=x²+y²+8，
∵xy=4，
∴EF²=（x+y）²，
∴EF=x+y，
∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12．

（3）解：分为两种情况：①F在线段CD上时，如图备用图，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4-1=3，x==，EF=x+y=3+=，
过A作AN⊥EF于N，
则S_△AEF=S_梯形AEFD-S_△ADF=（3+4-）×4-×4×1=EF×AN，
∴AN=；
①当F在CD的延长线上时，如图，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4+1=5，x=，EF=x+y=，
过A作AN⊥EF于N，
则S_△AEF=S_{正方形ABCD}+S_△ADF-S_梯形BEFC=4×4+×4×1-×（+5）×4=EF×AN，
∴AN=．
分析：（1）证△BEM∽△CMF，推出=，代入求出xy=4即可；
（2）根据勾股定理求出x+y=EF，代入即可求出答案；
（3）分为两种情况：①F在线段CD上时，求出y=3，x=，EF=x+y═，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可；
①当F在CD的延长线上时，求出y=5，x=，EF=x+y=，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可．
点评：本题考查了三角形面积、梯形面积、正方形面积，正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．