已知四边形ABCD.顶点A.B的坐标分别为.当顶点C落在反比例函数的图象上.我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD .顶点C称为“轴曲顶点．小明对此问题非常感兴趣.对反比例函数为y=$\frac{2}{x}$时进行了相关探究．(1)若轴曲四边形ABCD为正方形时.小明发现不论m取何值.符合上述条件的轴曲正方形只有两个.且一个正方形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知四边形ABCD，顶点A，B的坐标分别为（m，0），（n，0），当顶点C落在反比例函数的图象上，我们称这样的四边形为“轴曲四边形ABCD”，顶点C称为“轴曲顶点”．小明对此问题非常感兴趣，对反比例函数为y=$\frac{2}{x}$时进行了相关探究．

（1）若轴曲四边形ABCD为正方形时，小明发现不论m取何值，符合上述条件的轴曲正方形只有两个，且一个正方形的顶点C在第一象限，另一个正方形的顶点C₁在第三象限．
①如图1所示，点A的坐标为（1，0），图中已画出符合条件的一个轴曲正方形ABCD，易知轴曲顶点C的坐标为（2，1），请你画出另一个轴曲正方形AB₁C₁D₁，并写出轴曲顶点C₁的坐标为（-1，-2）；
②小明通过改变点A的坐标，对直线CC₁的解析式y﹦kx+b进行了探究，可得k﹦1，b（用含m的式子表示）﹦-m；
（2）若轴曲四边形ABCD为矩形，且两邻边的比为1：2，点A的坐标为（2，0），求出轴曲顶点C的坐标．

分析（1）①由正方形的性质和“轴曲四边形ABCD”的定义容易画出图形，得出顶点C₁的坐标；
②由题意得出点C和C₁的坐标，代入y﹦kx+b，得出方程组，解方程组即可；
（2）分两种情况：①当AB=2BC时，由点A的坐标得出点C的坐标为$（n\;，\;\frac{n-2}{2}）$或$（{n\;，\;\frac{2-n}{2}}）$，根据题意得出方程，解方程即可；
②当BC=2AB时，由题意得出点C的坐标为（n，2n-4）或（n，4-2n），根据题意得出方程，解方程即可．

解答解：（1）①如图1所示：点C₁的坐标为（-1，-2）；
故答案为：（-1，-2）；
②由题意得：C的坐标为（n，n-m），C₁的坐标为（m-n，-n），
代入y﹦kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{nk+b=n-m}\\{（m-n）k+b=-n}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-m．
故答案为：1，-m；
（2）分两种情况：①当AB=2BC时，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点C的坐标为$（n\;，\;\frac{n-2}{2}）$或$（{n\;，\;\frac{2-n}{2}}）$．
∴$n×\frac{n-2}{2}=2$或$n×\frac{2-n}{2}=2$．
解得：$n=1±\sqrt{5}$或无实根．
∴点C的坐标为$（{1+\sqrt{5}\;，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1-\sqrt{5}\;，\;\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}}）$．
②当BC=2AB时，
点C的坐标为（n，2n-4）或（n，4-2n）．
∴n（2n-4）=2或n（4-2n）=2．
解得：$n=1±\sqrt{2}$或n=1．
∴点C的坐标为$（{1+\sqrt{2}\;，\;2\sqrt{2}-2}）$或$（{1-\sqrt{2}\;，\;-2-2\sqrt{2}}）$或（1，2）；
综上所述：点C的坐标为$（{1+\sqrt{5}\;，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1-\sqrt{5}\;，\;\frac{{-\sqrt{5}-1}}{2}}）$或$（{1+\sqrt{2}\;，\;2\sqrt{2}-2}）$或$（{1-\sqrt{2}\;，\;-2-2\sqrt{2}}）$或（1，2）．

点评本题是反比例函数综合题目，考查了“轴曲四边形ABCD”的性质、反比例函数解析式的运用、一次函数解析式的求法、正方形的性质，矩形的性质、方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，理解“轴曲四边形ABCD”是解决问题的关键．

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