Question

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点
（1）观察图中是否有全等三角形？若有，直接写出：

△ABM≌△BCN

；（写出一对即可）
（2）求∠BQM的度数．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可以利用边角边证明△ABM与△BCN全等；也可以先利用等角的补角相等，先证明∠BAN=∠ACM，然后根据边的关系证明AN=CM，再根据边角边证明△ACM与△BAN全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠M=∠N，然后根据∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，又∠CAM与∠NAQ是对顶角，从而得解．

解答：解：（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN，
①△ABM≌△BCN，
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵在△ABM与△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠ BM=CN

ACB，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
②△ACM≌△BAN，
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴180°-∠BAC=180°-∠ACB，
即∠BAN=∠ACM，
∵BM=CN，
∴BM-BC=CN-AC，
即CM=AN，
∵在△ACM与△BAN中，

AB=AC ∠BAN=∠ACM AN=CM

，
∴△ACM≌△BAN（SAS）；

（2）根据（1）可得△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
根据三角形的外角性质，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，
又∵∠CAM=∠NAQ（对顶角相等），
∴∠BQM=∠ACB=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，结合图形找出全等三角形的条件是解题的关键．