Question

如图，已知顶点为P的抛物线y=

1

2

x2+bx+c经过点A（-3，6），并x轴交于B（-1，0），C两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABPC的面S；
（3）试判断四边形ABPC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B两点的坐标代入解析式即可求出未知数的值，从而求出函数解析式．
（2）根据（1）所求抛物线的解析式可求出B点及P点坐标，根据△ABC及△BPC的面积即可求出四边形ABPC的面积．
（3）过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，根据抛物线的对称性及直角三角形的判定定理可判断出△BPC是等腰直角三角形，在由A点坐标及CE两点之间的距离可求出△AEC为等腰直角三角形，可判断出四边形ABPC是直角梯形．

解答：解：（1）把A、B两点的坐标代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由抛物线解析式易得C（3，0），顶点P（1，-2），
S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC•y_A+

1

2

BC•|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四边形ABPC是直角梯形．理由如下：
如图，过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四边形ABPC是直角梯形．

点评：本题结合梯形及直角三角形的性质考查二次函数图象上点的坐标特点，是一道综合性较好的题目．