Question

（2013•大连）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，DC=4，求CG的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根据HL证Rt△DAO≌Rt△DCO，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接BF、CE、AC，由切线长定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的长，由勾股定理求出BC长，根据△BGC∽△EGF求出

CG

GE

=

BC

EF

=

3

5

，则CG=

3

8

CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得．

解答：（1）证明：连接OC，
∵DC是⊙O切线，
∴OC⊥DC，
∵OA⊥DA，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中

DO=DO OA=OC

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），
∴DA=DC．

（2）解：连接BF、CE、AC，
由切线长定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC，
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，由勾股定理得：DO=5，
∵由三角形面积公式得：

1

2

DA•AO=

1

2

DO•AM，
则AM=

12

5

，
同理CM=AM=

12

5

，
AC=

24

5

．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC=

62-( 24 5 )2

=

18

5

．
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）
∴△BGC∽△EGF，
∴

CG

GE

=

BC

EF

=

18 5

6

=

3

5

，
在Rt△OMC中，CM=

12

5

，OC=3，由勾股定理得：OM=

9

5

，
在Rt△EMC中，CM=

12

5

，ME=OE-OM=3-

9

5

=

6

5

，由勾股定理得：CE=

6

5

5

，
在Rt△CEF中，EF=6，CE=

6

5

5

，由勾股定理得：CF=

12

5

5

．
∵CF=CG+GF，

CG

GE

=

3

5

，
∴CG=

3

8

CF=

3

8

×

12

5

5

=

9

10

5

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，综合性比较强，难度偏大．