Question

2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的垂直平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．
求证：BN=CM．

Answer 1

分析 连接PB、PC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PMC和Rt△PNB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，连接PB、PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵PQ是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
在Rt△PMC和Rt△PNB中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．