Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB_l∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．当t>时，连结C ′C，则以CC´为直径的圆何时与直线AB相切？

Answer 1

（1）1，1；（2）；（3）

试题分析：（1）先根据勾股定理求得AB的长，即可求得t的值，从而求得DE的长度；
（2）分①若△DEG∽△ACB，②若△DEG∽△BCA，③若△DEG∽△ACB，④若△DEG∽△BCA，四中情况，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）以DH为对称轴，作出AC经轴对称变换后的A′C′，先由CD的长表示出CP的长，再根据对称性表示出CC′的长，过点C作CM⊥AB，先求得CM的长，即可得到PH的长，当CC′=2PH时，以CC´为直径的圆与直线AB相切，即可得到关于t的方程，从而求得结果.

（1）

（2）

①若△DEG∽△ACB

②若△DEG∽△BCA


③若△DEG∽△ACB

④若△DEG∽△BCA

（3）如图所示：


点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．