Question

已知：如图，⊙O和⊙O₁内切于A，直线OO₁交⊙O于另一点B、交⊙O₁于另一点F，过B点作⊙O₁的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB，垂足为E．
求证：（1）CD=DE；
（2）若将两圆内切改为外切，其它条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．
（3）在（1）条件下，若BD=4，BF=2，连AC，求DE与AC的长．

Answer 1

分析：（1）要证明CD=DE，可以把它们构造到两个全等三角形中三角形ADE和三角形ACD中，根据圆周角定理的推论和弦切角定理以及等角的余角相等证明∠ADE=∠ADC．再结合直角和公共边证明两个三角形全等．
（2）根据圆周角定理的推论和弦切角定理以及等角的余角相等证明∠ADE=∠ADC，进而求出即可；
（3）首先利用切割线定理得出BD²=BF×AB，求出AB的长，进而利用三角形相似求出即可．

解答：证明：（1）连接DF、AD；
∵AF为⊙O₁的直径，
∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC为⊙O₁的切线，
∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA；
连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD=DE．

（2）当两圆外切时，其他条件不变，（1）中的结论仍成立，证法同（1）．

（3）∵BC为⊙O₁的切线，
∴BD²=BF×AB，
∴16=2AB，
∴AB=8，AF=6，
∵△BDE∽△BAC，
∴

BD

AB

=

DE

AC

=

4

8

=

1

2

，
∴设DE=x，AC=2x，
∵DE²=EF×AE，
∴x²=（6-2x）×2x，
解得：x=0（不合题意舍去）或x=2.4，
∴DE=2.4，AC=4.8．

点评：此题主要考查了圆周角定理的推论、弦切角定理、等角的余角相等等知识，掌握全等三角形的性质和判定．在解决一题多变的时候，思路基本相似是解决问题的关键．