Question

（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y₁（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6
输送的污水量y1（吨）	12000	6000	4000	3000	2400	2000

7至12月，该企业自身处理的污水量y₂（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z₁（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=

1

2

x，该企业自身处理每吨污水的费用：z₂（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=

3

4

x-

1

12

x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y₁，y₂与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：

231

≈15.2，

419

≈20.5，

809

≈28.4）

Answer 1

分析：（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y₁与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可．

解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y₁与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y₁=

k

x

，将（1，12000）代入得：
k=1×12000=12000，
故y₁=

12000

x

（1≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，
代入y2=ax2+c(a≠0)得：

10049=49a+c 10144=144a+c

，
解得：

a=1 c=10000

，
故y₂=x²+10000（7≤x≤12，且x取整数）；

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：
W=y₁•z₁+（12000-y₁）•z₂=

12000

x

•

1

2

x+（12000-

12000

x

）•（

3

4

x-

1

12

x²），
=-1000x²+10000x-3000，
∵a=-1000＜0，x=-

b

2a

=5，1≤x≤6，
∴当x=5时，W_最大=22000（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W=2×（12000-y₂）+1.5y₂=2×（12000-x²-10000）+1.5（x²+10000），
=-

1

2

x²+19000，
∵a=-

1

2

＜0，x=-

b

2a

=0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W_最大=18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，
设t=a%，整理得：10t²+17t-13=0，
解得：t=

-17± 809

20

，
∵

809

≈28.4，
∴t₁≈0.57，t₂≈-2.27（舍去），
∴a≈57，
答：a的值是57．

点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．