Question

在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜（AB+AC）；
（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE．
①如图2，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC≥DE．

Answer 1

（1）证明：延长AP至H，使得PH=AP，连接BH、HC，PH；
∵BP=PC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∴AB=HC；
在△ACH中，AH＜HC+AC；
∴2AP＜AB+AC；
即

（2）①答：BE=2AP．
证明：过B作BH∥AE交DE于H，连接CH、AH；
∴∠1=∠BAC=60°；
∵DB=AC，AB=CE，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；
∴△BDH是等边三角形；
∴BD=DH=BH=AC；
∴四边形ABHC是平行四边形；
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点，
∴点A，P，H共线，
∴AH=2AP；
在△ADH和△EDB中，；
∴△ADH≌△EDB；
∴AH=BE=2AP；

②证明：分两种情况：
ⅰ）当AB=AC时，
∴AB=AC=DB=CE；
∴BC=；
ⅱ）当AB≠AC时，
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）
∴DB=GC=AC，∠BAC=∠1，BC=DG，
∵AB=CE；
∴△ABC≌△CEG；
∴BC=EG=DG；
在△DGE中，DG+GE＞DE；
∴2BC＞DE，即；
综上所述，BC≥．
分析：（1）可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在△ACH中，由三角形三边关系定理知：AH＜AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代换后即可证得所求的结论；
（2）①可按照（1）题的思路求解；过B作AE的平行线，交DE于H，连接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，则△ADE是等边三角形，易证得△DBH也是等边三角形，此时DB=BH=AC，则四边形ABHC的一组对边平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点，且AH=2AP；下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH=DE，从而得出DE=2AP的结论；
②分两种情况：
一、AB=AC时，由题意易知AB=AC=BD=CE，则BC是三角形ADE的中位线，此时DE=2BC；
二、AB≠AC时，仿照①的思路，可以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE；易证得△ABC≌△CEG，则AB=GE；而根据平行四边形的性质易知BC=DG，那么在等腰△DGE中，DG=GE，根据三角形三边关系定理知：DG+GE＞DE，即2BC＞DE；
综合上述两种情况即可证得所求的结论．
点评：此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．