![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5284e05295513.png)
(1)证明:延长AP至H,使得PH=AP,连接BH、HC,PH;
∵BP=PC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∴AB=HC;
在△ACH中,AH<HC+AC;
∴2AP<AB+AC;
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/441051.png)
(2)①答:BE=2AP.
证明:过B作BH∥AE交DE于H,连接CH、AH;
∴∠1=∠BAC=60°;
∵DB=AC,AB=CE,
∴AD=AE,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5284e052aa6d7.png)
∴△AED是等边三角形,
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°;
∴△BDH是等边三角形;
∴BD=DH=BH=AC;
∴四边形ABHC是平行四边形;
∵点P是BC的中点,
∴点P是四边形ABHC对角线AH、BC的交点,
∴点A,P,H共线,
∴AH=2AP;
在△ADH和△EDB中,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/441052.png)
;
∴△ADH≌△EDB;
∴AH=BE=2AP;
②证明:分两种情况:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5284e052b7e87.png)
ⅰ)当AB=AC时,
∴AB=AC=DB=CE;
∴BC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/25204.png)
;
ⅱ)当AB≠AC时,
以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC(如图)
∴DB=GC=AC,∠BAC=∠1,BC=DG,
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/5284e052c920a.png)
∵AB=CE;
∴△ABC≌△CEG;
∴BC=EG=DG;
在△DGE中,DG+GE>DE;
∴2BC>DE,即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/441053.png)
;
综上所述,BC≥
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/25204.png)
.
分析:(1)可通过构建平行四边形求解;延长AP至H,使PH=AP;则AH、BC互相平分,四边形ABHC是平行四边形;在△ACH中,由三角形三边关系定理知:AH<AC+CH,而HC=AB,AH=2AP,等量代换后即可证得所求的结论;
(2)①可按照(1)题的思路求解;过B作AE的平行线,交DE于H,连接AH、CH;易知AD=AE,若∠BAC=60°,则△ADE是等边三角形,易证得△DBH也是等边三角形,此时DB=BH=AC,则四边形ABHC的一组对边平行且相等,则四边形ABHC是平行四边形;由此可证得P是平行四边形ABHC对角线的交点,且AH=2AP;下面可通过证△DBE≌△DHA得出AH=DE,从而得出DE=2AP的结论;
②分两种情况:
一、AB=AC时,由题意易知AB=AC=BD=CE,则BC是三角形ADE的中位线,此时DE=2BC;
二、AB≠AC时,仿照①的思路,可以BC、BD为边作平行四边形DBCG,连接GE;易证得△ABC≌△CEG,则AB=GE;而根据平行四边形的性质易知BC=DG,那么在等腰△DGE中,DG=GE,根据三角形三边关系定理知:DG+GE>DE,即2BC>DE;
综合上述两种情况即可证得所求的结论.
点评:此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质,综合性强,难度较大.