Question

20．如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，延长BC至点E，使CE=AD，∠B=2∠E．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠B=60°，AB=4，求边BC的长．

Answer 1

分析 （1）两个底角相等的梯形是等腰梯形，由此需证∠B=∠BCD：先证明四边形ADEC是平行四边形，得∠ACB=∠E，再证明∠ACB=∠ACD，得：∠BCD=2∠ACB，由
∠B=2∠E得∠B=∠BCD．
（2）先证明△ABC是直角三角形，再由勾股定理求解．

解答 （1）证明：∵AD∥CE，CE=AD
∴四边形ADEC是平行四边形
（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形），
∴AC∥DE
∴∠ACB=∠E
∵CA平分∠BCD
∴∠ACB=∠ACD
即：∠BCD=2∠ACB
∵∠B=2∠E
∴∠B=∠BCD
∵四边形ABCD是梯形
∴四边形ABCD是等腰梯形
（2）解：∵∠B=60°
∴∠BCD=60°
∴∠ACB=30°
在△ABC中，∠B+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠BAC=90°
∴$AB=\frac{1}{2}BC$
∵AB=4
∴BC=8

点评 本题考查了等腰梯形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是掌握等腰梯形的判定方法与性质．