Question

7．已知直线y=-x+2与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A，B两点且其对称轴为x=2，求：
（1）这条抛物线的解析式；
（2）这条抛物线的顶点坐标；
（3）求这条抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点坐标的三角形面积．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求出A点和B点坐标，从而得到抛物线的顶点坐标为（2，0），则可设顶点式y=a（x-2）²，然后把B点坐标代入求出a即可；
（2）由（1）可得抛物线的顶点坐标；
（3）根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）当y=0时，-x+2=0，解得x=2，则A（2，0）；
当x=0时，y=-x+2=2，则B（0，2），
而对称轴为x=2，则顶点坐标为（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
把B（0，2）代入得a•（0-2）²=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²；
（2）抛物线的顶点坐标为（2，0）；
（3）这条抛物线与x轴的两交点和与y轴的交点所围成的三角形面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．