Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ECF＝∠BCD＝90°，CE＝CF＝5，BC＝7，BD平分∠ABC，E是△BCD内一点，F是四边形ABCD外一点．（E可以在△BCD的边上）

（1）求证：DC＝BC；

（2）当∠BEC＝135°，设BE＝a，DE＝b，求a与b满足的关系式；

（3）当E落在线段BD上时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）b2－a2＝50；（3）或．

【解析】

（1）由角平分线定义得出∠ABD=∠CBD，由平行线的性质得出∠ABD=∠BDC，证出∠CBD=∠BDC，即可得出结论；

（2）证明△DCE≌△BCF（SAS），得出DE=BF，证出△CEF是等腰直角三角形，得出EF= CE=，∠CEF=45°，得出∠BEF=90°，在Rt△BEF中，由勾股定理即可得出结论；

（3）由等腰直角三角形的性质得出BD=BC=，∠CBD=∠CDB=45°，同(2)得△DCE≌△BCF（SAS），得出DE=BF，∠CBF=∠CDE=45°，证出∠EBF=90°，BE=BD－DE=－DE，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可求出DE.

（1）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

∴∠CBD＝∠BDC，

∴DC＝BC；

（2）解：由（1）得：DC＝BC，

∵∠BCD＝90°，∠ECF＝90°，

∴∠DCE+∠BCE＝∠BCF+∠BCE＝90°，

∴∠DCE＝∠BCF，

在△DCE和△BCF中，，

∴△DCE≌△BCF（SAS），

∴DE＝BF，

∵DE＝b，

∴BF＝b，

∵∠ECF＝90°，CE＝CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF＝CE＝5，∠CEF＝45°，

∵∠BEC＝135°，

∴∠BEF＝90°，

在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，即a2+（5）2＝b2，

∴b2－a2＝50；

（3）解：如图，

∵DC＝BC，∠BCD＝90°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝BC＝7，∠CBD＝∠CDB＝45°，

同（2）得：△DCE≌△BCF（SAS），

∴DE＝BF，∠CBF＝∠CDE＝45°，

∴∠EBF＝∠CBD+∠CBF＝45°+45°＝90°，

∵BE＝BD﹣DE＝7﹣DE，

∴在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2，即：（5）2＝（7﹣DE）2+DE2，

解得：DE＝4或DE＝3．