Question

【题目】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF 正确的个数是（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确，
故答案为：D．
根据已知BF∥AC，得出∠C=∠CBF，再根据BC平分∠ABF，得出∠ABC=∠CBF，从而证得∠C=∠ABC，证得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，然后利用ASA证明△CDE≌△DBF，得出DE=DF，CE=BF，根据AE=2BF，可证得AC=3BF，继而得出结论。