附加题：如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（4，0），点P是直线y= $数学公式$ +4在第一象限上的一点，O是原点．
（1）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过P点作PD⊥x轴于D
∵P点在直线y=- $\text{[math]}$ x+4上第一象限内的一点，且坐标为（x，y）
∴PD=|y|=|- $\text{[math]}$ x+4|=- $\text{[math]}$ x+4
∵A点的坐标为（4，0）∴OA=4
∴△OPA的面积为
S= $\text{[math]}$ ．

（2）假设存在这样的点P，过P点作PD⊥x轴于D
当OP=AP时，则OD=AD= $\text{[math]}$ =2，
∴PD=- $\text{[math]}$
∴在第一象限存在1个点P（2，3），使OP=AP．
分析：（1）△OPA的面积等于OA与点P的纵坐标的乘积的一半，所以S= $\text{[math]}$ =2y=-x+8；
（2）根据题中条件，保持OP=AP，则过P做OA垂线PD，则D坐标为（2，0），可以算出P点坐标．
点评：本题主要考查对于一次函数图形的应用以及等腰三角形性质的掌握．

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（1）设P点的坐标为（x，y），△OPA的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使PO=PA？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（2007•中山区二模）如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点在x轴上且B在A点右侧，过点A和B做x轴垂线，分别交二次函数y=x²的图象与C、D两点，直线OC交BD于M．
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（2）将A、B两点坐标改为A（t，0），B（2t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）中结论是否成立？请验证．
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x+5与x轴交于B点，与正比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第一象限内的点A（如图（1））
（1）若k=

时，①求点A的坐标；②以O、A、B三点为顶点在图（1）中画出平行四边形，并直接写出平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）若△OAB的面积是5，求此时点A的坐标及k的值（图（2）备用）

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科目：初中数学 来源：浙江省期末题 题型：解答题

探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）
（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

，消去y化简得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48>0，∴x₁=（），x₂=（），∴满足要求的矩形B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？
（4）附加题、如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：
① 这个图象所研究的矩形A的两边长为______和______；
②满足条件的矩形B的两边长为______和______。

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