Question

13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点F，AM⊥AB，垂足为A，AM分别交BD、CD于点O、H，以O为圆心OA长为半径的圆交AM于点P，连接PB交CD于点E．
（1）求证：点C在⊙O上；
（2）求证：$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$；
（3）若⊙O的半径为5，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质得出BD垂直平分AC，进而得出点C在⊙O上；
（2）利用菱形的性质以及相似三角形的判定与性质得出△PHC∽△OAB进而得出答案；
（3）利用相似三角形的判定与性质得出△PHE∽△PAB，进而利用锐角三角函数关系得出AC的长，即可得出CE的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵四边形ABCD在菱形，AC、BD为对角线，
∴BD垂直平分AC，
∴OA=OC，
又∵OA为⊙O的半径，
∴点C在⊙O上．                   

（2）证明：连接PC，
∵四边形ABCD在菱形，AC、BD为对角线，
∴AB∥CD，AC⊥BD
又∵AP为⊙O的直径，AP⊥AB，
∴AC⊥PC，AP⊥DC，
∴PC∥BD，
∴∠PHC=∠PAB=90°，∠HPC=∠AOB，
∴△PHC∽△OAB，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$；

（3）解：∵四边形ABCD在菱形，
∴AB∥CD，即HE∥AB，
∴△PHE∽△PAB，
∴$\frac{PH}{PA}=\frac{HE}{AB}$，
又∵PA=2OA，
∴$\frac{PH}{2OA}=\frac{HE}{AB}$，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{2HE}{AB}$，
由（2）得$\frac{PH}{OA}=\frac{HC}{AB}$，
∴$\frac{PH}{OA}=\frac{2HE}{AB}=\frac{HC}{AB}$，
∴2HE=HC，$CE=\frac{1}{2}HC$，
又∵⊙O的半径为5，sin∠AOB=sin∠HPC=$\frac{4}{5}$
∴PA=10，
在Rt△PAB中，sin∠APC=$\frac{AC}{PA}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AC}{10}=\frac{4}{5}$，得AC=8，
∴由勾股定理得：$PC=\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，
在Rt△PHC中，sin∠HPC=$\frac{HC}{PC}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{HC}{6}=\frac{4}{5}$，
∴$HC=\frac{24}{5}$，
∴$CE=\frac{1}{2}HC=\frac{12}{5}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系的应用，正确得出△PHC∽△OAB是解题关键．