Question

7．阅读材料：
若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．
（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；
（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值．

Answer 1

分析 （1）可设三位“半和数”的十位数字是a，百位数字是b，根据“半和数”的定义用a，b表示出个位数字，再表示出这个三位数，再根据整除的定义即可求解；
（2）根据欢喜数的定义，半和数的定义，平方差数的定义，得到方程组，解方程组可求m的值．

解答 （1）证明：设三位“半和数”的十位数字是a，百位数字是b，则个位数字为（2a-a-b），则
100b+10a+（2a-a-b）
=100b+10a+a-b
=11a+99b
=11（a+9b），
故所有的三位“半和数”均能被11整除；
（2）解：依题意有$\left\{\begin{array}{l}{10a+b=2（10b+c）}\\{b+m+c=2m}\\{m={b}^{2}-{c}^{2}}\end{array}\right.$，
由b+m+c=2m，得m=b+c，
把m=b+c代入m=b²-c²得b+c=b²-c²，
则b-c=1，即b=c+1，
把b=c+1代入10a+b=2（10b+c）得10a=19b+2c=21c+19，
则a=$\frac{21c+19}{10}$，
∵a，c都为非负整数，
∴c=1时，a=4，
则b=c+1=1+4=5，
m=b+c=5+1=6．

点评 考查了平方差公式，关键是熟练理解和掌握欢喜数的定义，半和数的定义，平方差数的定义．