Question

已知二次函数y=-x²+4x-3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和图象与坐标轴交点的坐标；
（2）在方格纸中建立适当的坐标系，并画出函数的大致图象；
（3）若图象的顶点D，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，在此图象上是否存在点P，使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下；
对称轴是直线x=-=2，=1，
故抛物线的顶点坐标为（2，1）；
令x=0，则y=-3；
令y=0，则-x²+4x-3=0，
故抛物线与坐标轴的交点是（0，-3），（3，0），（1，0）；

（2）函数图象如图所示：
；

（3）S_△ABC=××2×3=1，
假设存在点P，当点P在x轴上方时，

S_△ABP=S_△ABC=1，即AB×P_纵=1，
解得：P_纵=1，即可得此时点P的坐标为（2，1）；
当点P在x轴下方时，即可得AB×|-x²+4x-3|=1，即x²-4x+3=1，
解得：x₁=2+，x₂=2-，
则点P的坐标为（2+，-1）或（2-，-1）．
综上可得P₁（2，1），P₂（2+，-1），P₃（2-，-1）
分析：（1）根据函数解析式可求出顶点坐标，对称轴及与坐标轴的交点；
（2）根据二次函数的顶点，对称轴及与y轴的交点可画出图象；
（3）先求出S_△ABC，然后设点P坐标为（x，-x²+4x-3），讨论当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别列出等式，解出方程即可得出点P的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点问题，解答第三问的时候注意分类讨论，运用方程思想解答，不要漏解．