Question

14．如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为（1，0）．
（1）求一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在坐标轴上求一点P，使△BCP为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）分三种情形讨论，确定点D的坐标．
（2）当点P在x轴上时，设出P的坐标（x，0），写出PC的长，根据勾股定理可计算出BC、BP的长，利用勾股定理求出x；同理求出点P在y轴上的坐标．

解答 （1）解：BC为对角线时，D（-2，3），
AC为对角线时，D（4，-3），
AB为对角线时，D（2，3）
∴D（4，-3）或（-2，3）或（2，3）．

（2）假设在x轴的负半轴上有点P，其坐标为（x，0）即OP=-x，
∴BP=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PC=1-x．
由勾股定理：BC²+BP²=PC²，
∴10+x²+3²=（x-1）²，
解得x=-9．
即点P（-9，0）；
假设在y轴的负半轴上有点P，其坐标为（0，x）即OP=-x，
∴CP=$\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}$．
∵OB=3，OC=1，
∴BC=$\sqrt{10}$，PO=3-x．由勾股定理：BC²+CP²=PB²，
∴10+x²+1²=（3-x）²，
解得x=-$\frac{1}{3}$．即
点P（0，-$\frac{1}{3}$）．
当P与原点重合时，△PBC是直角三角形，此时P（0，0），
综上所述，满足条件的点P坐标（-9，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）或（0，0）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、两点间的距离公式．注意满足条件的四边形的点D有两个；满足轴上的点P有两个，一个在x轴的负半轴上，一个在y轴的负半轴上，注意别漏解．