Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=4，点P是BC边上的动点，过P作PF⊥AB于F，过P作PD⊥AC于D，过P、F、D三点作圆，设BP=x．
（1）请你探究在点P运动过程中点A是否在圆上；
（2）请你探究当x等于多少时，四边形AFPD是正方形？
（3）若P不与端点B重合时，且圆与BC相交于另一点M，连接FM，请你探究△PMF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）连结FD，AP，它们相交于点O，如图1，先证明四边形ADPF为矩形，则∠FPD=90°，则根据圆周角定理得到点P、F、D在以点O为圆心，OP为半径的圆上，接着根据矩形的性质得OA=OP，然后根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O上；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到PF=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$x，PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），根据正方形的判定方法得$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），解得x=6-2$\sqrt{3}$；
（3）连结AM、AP，作FH⊥BC于H，如图2，先计算出PF=$\frac{1}{2}$x，BF=$\sqrt{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，在Rt△BHF中计算出FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x，在Rt△ABC中计算出AC=$\frac{1}{2}$BC=2，再根据圆周角定理可得到∠AMP=90°，则在Rt△AMC可计算出CM=1，分类讨论：当0＜x≤3时，PM=3-x，根据三角形面积公式得到S_△PMF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$x•（3-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，利用二次函数的性质得x=$\frac{3}{2}$时，S_△PMF的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，当3＜x≤4时，PM=x-3，则S_△PMF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$x•（x-3）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，根据二次函数的性质得x=4时，S_△PMF有最大值，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到△PMF面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（1）连结FD，AP，它们相交于点O，如图1，
∵PF⊥AB，PD⊥AC，
而∠BAC=90°，
∴四边形ADPF为矩形，
∴∠FPD=90°，
∴点P、F、D在以点O为圆心，OP为半径的圆上，
∵OA=OP，
∴点A在⊙O上；
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠C=60°，
在Rt△BPF中，∵∠B=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PCD中，∵sin∠C=$\frac{PD}{PC}$，
∴PD=（4-x）sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
∵四边形ADPF为矩形，
∴当PF=PD时，四边形ADPF为正方形，
即$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），解得x=6-2$\sqrt{3}$，
∴当x等于（6-2$\sqrt{3}$）时，四边形AFPD是正方形；
（3）连结AM、AP，作FH⊥BC于H，如图2，
在Rt△BPF中，∵∠B=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$x，
∴BF=$\sqrt{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△BHF中，FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵∠ADP=90°，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠AMP=90°，
在Rt△AMC，∵cos∠C=$\frac{MC}{AC}$，
∴CM=2×$\frac{1}{2}$=1，
当0＜x≤3时，PM=BC-BP-MC=4-x-1=3-x，
S_△PMF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$x•（3-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，
x=$\frac{3}{2}$时，S_△PMF有最大值，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，
当3＜x≤4时，PM=x-3，
S_△PMF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$x•（x-3）
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9\sqrt{3}}{32}$，
x=4时，S_△PMF有最大值，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△PMF面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定、点与圆的位置关系和圆周角定理；会运用含30度的直角三角形三边的关系计算相应线段的长；会运用二次函数的性质解决最值问题．