Question

18．（1）如图①把边长为AB=6、BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长；
（2）如图②把边长为AB=2$\sqrt{2}$、BC=4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．

Answer 1

分析 （1）先用勾股定理求的BD，再判断出△MNE∽△DBA，$\frac{MN}{DB}=\frac{ME}{AD}$，代值即可；
（2）先求出BE，DE，再同（1）的方法即可求的．

解答 解：（1）如图1，
过点M作ME⊥BC，垂足为E，连接BD，
在Rt△ABD中，AB=6，BC=8．
∴BD=10，
由折叠得，MN⊥BD，
∴∠ADB+∠NMD=90°，
∵∠NME+∠NMD=90°，
∴∠ADB=∠NME，
∵∠MEN=∠A=90°
∴△MNE∽△DBA，
∴$\frac{MN}{DB}=\frac{ME}{AD}$，
∴$\frac{MN}{10}=\frac{6}{8}$，
∴MN=7.5                    
（2）如图2，过点B作BE⊥AD的延长线于E，过F作MF⊥BC，连接BD，
∴MF=BE=2，
∴DE=6．
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
同（1）的方法，得出，△MNF∽△DBE，
∴$\frac{MN}{DB}=\frac{MF}{DE}$
∴$\frac{MN}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{6}$
∴MN=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA．