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(2013年四川眉山9分)在矩形ABCD中,DC=2,CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F,连接BF.

(1)求证:△DEC∽△FDC;

(2)当F为AD的中点时,求sin∠FBD的值及BC的长度.

 

【答案】

解:(1)证明:∵∠DEC=∠FDC=90°,∠DCE=∠FCD,

∴△DEC∽△FDC。

(2)∵F为AD的中点,AD∥BC,∴FE:EC=FD:BC=1:2,FB=FC。

∴FE:FC=1:3,∴

设EF=x,则FC=3x,

∵△DEC∽△FDC,∴,即:6x2=12,解得:x=

∴CF=3

在Rt△CFD中,

∴BC=2DF=2

【解析】(1)根据题意可得∠DEC=∠FDC,利用两角法即可进行相似的判定。

(2)根据F为AD的中点,可得FB=FC,根据AD∥BC,可得FE:EC=FD:BC=1:2,再由sin∠FBD=EF:BF=EF:FC,即可得出答案,设EF=x,则EC=2x,利用(1)的结论求出x,在Rt△CFD中求出FD,继而得出BC。

考点:矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,勾股定理。

 

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