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12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标为(0,-1),点C(m,0)是x轴上的一个动点.
(1)如图1,点B在第四象限,△AOB和△BCD都是等边三角形,点D在BC的上方,当点C在x轴上运动到如图所示的位置时,连接AD,请证明△ABD≌△OBC;
(2)如图2,点B在x轴的正半轴上,△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,点D在AC的上方,∠D=90°,当点C在x轴上运动(m>1)时,设点D的坐标为(x,y),请探求y与x之间的函数表达式.

分析 (1)由等边三角形的性质得到AB=OB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,从而判断出∠ABD=∠OBC即可;
(2)过点D作DH⊥y轴,垂足为H,延长HD,过点C作CG⊥HD,垂足为G,由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,得出∠ADC=90°,AD=CD,∠CDG=∠DAH,从而得到△AHD≌△DGC(AAS),根据DH=CG=OH,点D的坐标为(x,y),得出y与x之间的关系是y=x.

解答 解:(1)∵△AOB和△BCD都是等边三角形,
∴AB=OB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,
∴∠ABD=∠OBC,
在△ABD和△OBC中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△OBC;

(2)如图,过点D作DH⊥y轴,垂足为H,延长HD,过点C作CG⊥HD,垂足为G.
∴∠AHD=∠CGD=90°,
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,
∴∠ADC=90°,AD=CD,
∴∠ADH+∠CDG=90°,
∵∠ADH+∠DAH=90°,
∴∠CDG=∠DAH,
∵在△AHD和△DGC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠CGD}\\{∠CDG=∠DAH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$,
∴△AHD≌△DGC(AAS),
∴DH=CG=OH,
∵点D的坐标为(x,y),
∴y与x之间的关系是y=x;

点评 此题是四边形综合题,主要考查了等边三角形,等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定的综合应用,解本题的关键是判定三角形全等,根据全等三角形的对应边相等进行推导.

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